Аналіз досліджень і постановка задачі.
Більшість конструкцій зазвичай розраховують на дію статичних навантажень, хоча реально ці конструкції завжди сприймають як статичні, так і динамічні навантаження.
Коли річь іде про розрахунок будівель і споруд в несейсмічних зонах, зазвичай всі елементи споруд розраховують на дію статичних навантажень. Але більш гнучкі конструкції, таки, як, наприклад, башти, опори ліній електропередачі тощо, повинні розраховуватися на дію вітрового навантаження, враховуючи динамічну складову [1]. Крім того, за дії сейсмічного навантаження, а також навантаження від тиску вибухової хвилі всі конструкції повинні бути розраховані саме на динамічні впливи. Хоча у вітчизняних нормах проектування захисних споруд цивільного захисту [2] для спрощення прийнятий квазістатичний метод розрахунку на дію ударної повітряної хвилі.
Відомо, що при розрахунках на дію сейсмічних навантажень розрахункова схема споруди приймається як вертикальна консоль, де маси зосереджені на рівні поверхів будівлі [1, 4, 7]. За дії навантажень від тиску вибухової хвилі також окрему конструкцію або споруду в цілому можна розраховувати як систему у вигляді стрижня або рами (плоскої чи просторової) з зосередженими в окремих точках масами [6]. Однак більшість вітчизняних програмних комплексів, в яких є можливість розрахунку на динамічні впливи, слід перевіряти на простих теоретичних схемах. Так, в [5] показано, що розрахунок в програмі Lira-SAPR на дію динамічного навантаження балки, яку можна представити у вигляді одномасової системи з еквівалентною масою, виявляються деякі помилки в порівнянні з теоретичними даними. Ці помилки досить просто можна виправити при розгляді одномасових систем. Однак, в багатомасових системах невідповідність може зрости. Тому слід мати простий алгоритм теоретичного розрахунку для перевірки відповідності теорії та результатів розрахунку в програмних комплексах.
З огляду на вищесказане метою цієї статті є представлення теоретичного розрахунку багатомасової системи за дії динамічного навантаження.
Викладення основного матеріалу.
Для простоти пояснення розглянемо двохмасову систему, суть якої можна перенести і на багатомасові системи. На рис. 1 показана вертикальна консольна балка з двома зосередженими масами m1 та m2. Така схема моделює роботу двоповерхової будівлі з масами, зосередженими в рівнях поверхів. В загальному випадку висота першого поверху l може відрізнятись від висоти другого поверху, а також маси m1 та m2 можуть мати різні значення. На маси діють динамічні сили F1(t) та F2(t).
Враховуючи, що ми маємо дві маси, система буде мати два ступеня свободи. Позначимо переміщення маси m1 по горизонталі через q1=q1(t), переміщення маси m2 через q2=q2(t). Для рішення задачі скористуємося рівняннями Лагранжа другого роду. Для цього в якості узагальнених координат приймемо переміщення q1 та q2.
Кінетична енергія системи виразиться:
Рівняння для потенціальної енергії має вигляд:
де k1, k2 – коефіцієнти жорсткості, які характеризують опір системи відповідно переміщенням маси m1, m2; k12 – відображає ступінь, в якій переміщення першої маси впливає на переміщення другої і навпаки. Крапка над символом означає першу похідну по часу t.
Рис. 1. Динамічна схема вертикальної консолі з двома масами
Вплив зміни вертикального положення мас m1, m2 на потенціальну енергію не враховуємо з двох причин. По-перше, через малі значення всіх переміщень, при переміщенні мас по горизонталі їх переміщення по вертикалі на порядок і більше менші. Відомо, що при розрахунках на дію сейсмічних навантажень також вертикальні переміщення нехтуються [4]; по-друге, як показано в [5, 7], при розгляданні рівнянь руху від динамічних впливів зусилля від вертикальних переміщень можна не враховувати, а додати до динамічних зусиль статичні зусилля.
Для аналізу впливу величини мас, а також сил F1(t) та F2(t) розглянемо систему, де l=L/2, де L – повна довжина (висота) консолі (див. рис. 1). Переміщення маси m1 від дії одиничної сили на цю масу визначається за відомою формулою [3]:
Переміщення маси m2 від дії одиничної сили на цю масу дорівнює:
Переміщення маси m1 від одиничної сили, прикладеної до маси m2, дорівнює:
Відомо, що для пружної системи δ21=δ12.
Якщо позначити переміщення під силою F1 через Δ1, під силою F2 через Δ2, то зв’язок переміщень з силами в матричній формі виглядає:
де δij – переміщення від одиничних сил (див. вище).
Коефіцієнти жорсткості kij визначаються за формулою:
Детермінант матриці:
Тоді коефіцієнти жорсткості будуть визначатися за виразами:
Кінетичний потенціал системи L=T-U з врахуванням (1) та (2) виглядає:
Система рівнянь Лагранжа другого роду для нашої динамічної системи запишеться у вигляді:
Підставляючи (10) в (11) і проводячи диференціювання спочатку по швидкостях і координатах, а потім по часу, отримаємо систему диференціальних рівнянь другого ступеня:
де через Q1 та Q2 позначені узагальнені сили.
Для визначення узагальненої сили Q1 дамо віртуальне переміщення δ1 точці, де розташована маса m1. При цьому в точці розташування маси m2 переміщення δ2 буде дорівнювати δ2=2.5̇·δ1 (для цього ми приклали умовну силу P1 в точці 1 і визначили зв’язок між переміщеннями δ1 та δ2).
Елементарна робота всіх активних сил (в нашому випадку це сили F1(t) та F2(t)) на віртуальних переміщеннях:
Узагальнена сила Q1 буде дорівнювати коефіцієнту при віртуальному переміщенні:
Аналогічно для визначення узагальненої сили Q2 слід задати віртуальне переміщення δ2 в точці розташування маси m2, визначити зв'язок між δ2 та δ1. В результаті отримаємо:
Якщо прийняти функцію змінення сил F(t) в часі за лінійним законом:
то з врахуванням всіх параметрів для системи, яка показана на рис. 1, будемо мати кінцеву систему диференціальних рівнянь:
де прийняті позначення:
Величина τ в виразах (16) та (17) означає час дії позитивної фази тиску від вибухової хвилі, а величина F0 -максимальне значення тиску [8, 9].
Система диференціальних рівнянь (12) може бути вирішена при будь якій функції зміни динамічної сили в часі, яка відрізняється від (16). Різниця полягає лише в тому, що праві частини рівнянь (12) і (17) будуть мати інший вигляд. Система типу (17) легко вирішується будь-яким чисельним методом, включаючи метод Ейлера, метод Рунге-Кутта тощо. При цьому початкові умови для невідомих q 1 та q 2 і їх перших похідних (швидкостей маси m1 та m2) є нульовими, тобто: 
Закони руху мас m1 та m2 за рівняннями (17) описують рух тільки в проміжку часу t від нуля до τ. Відомо, однак, що максимальні переміщення (а відповідно і зусилля) можуть з’являтися після прикладення сили, тобто під час вільних коливань системи. Такий випадок часто буває при малому часі дії сили τ [7]. В такому випадку слід вирішувати систему (12) без правої частини, але за початкові умови для невідомих приймати кінцеві значення переміщень q1 та q2 та їх перших похідних, які визначені при значеннях часу t=τ [6]. Тобто задача поділяється на два етапи. Перший етап – рішення системи (12) з правою частиною з нульовими початковими умовами і отримання функції обох переміщень та їх швидкостей при часі t від нуля до τ; другий етап – рішення системи (12) без правої частини при часі t>τ з початковими умовами, які дорівнюють кінцевим значенням переміщень і швидкостей в кінці першого етапу.
Аналогічним описаному вище способом можна вирішувати задачі для багатомасових систем. Для цього спочатку слід отримати вирази для переміщень від одиничних сил δij, потім за виразом, подібним (7)-(9), визначити коефіцієнти жорсткості і далі складати рівняння Лагранжа другого роду. При цьому, однак, ускладняється рішення системи диференціальних рівнянь, що в принципі не є надто складним в сучасних умовах.
В сучасних програмних комплексах існує можливість розрахунку на динамічні сили складних систем. Однак, теоретичний розрахунок, що наведений в цій статті, потрібен, по-перше, для верифікації розрахунків в програмних комплексах для простих систем с ціллю впевненості правильного розрахунку, по-друге, такі розрахунки потрібні при варіантному проектуванні, коли треба розглянути дуже багато варіантів, щоб вибрати оптимальний, а для цього в програмних комплексах кожен раз прийдеться змінювати розрахункову схему. Тут же ж треба лише змінити параметр (масу, довжину консолі, розмір поперечного перерізу, задану силу тощо) і в невеличкій програмі швидко порахувати всі необхідні дані. Що ж стосується верифікації програмних комплексів, то в [5] показано, що в програмі Lira-SAPR є певні моменти при розрахунку одномасової системи за дії вибухового навантаження, на які слід звернути увагу. Теж саме можна зробити для двохмасової системи за методикою, наведеною вище. Якщо верифікація для двохмасової системи проходить, то і для багатомасових систем вона буде дійсною. Справа в тому, що багатомасові системи (в тому числі двохмасові) містять в собі не тільки коефіцієнти жорсткості k1, k2, …, а й коефіцієнти взаємного впливу k1,2, k1,3 …, що накладає відбиток на алгоритм розрахунку. Тому перевірка для двохмасової системи може слугувати перевіркою і для багатомасових систем.
Теоретичний аналіз корисний ще і тим, що можна при цьому отримувати будь-які функції впливу, про декілька прикладів яких сказано вище, особливо при проведенні наукових досліджень с ціллю виявлення оптимальних рішень.
Як приклад такого аналізу наведемо дані розрахунку за розробленою методико колони (за схемою на рис. 1), де будемо варіювати різні параметри.
Розглянемо колону довжиною L, в середині якої розташована маса m1, а на кінці колони – маса m2. Поперечний переріз – квадратний bxb. На маси діють сили F1(t)=F2(t)=Ps0·(1-t/τ), де Ps0 – 312700 Н; τ=0.0146 сек (це значення тиску від вибухової хвилі вибухової речовини масою 800 кг на відстані 15 метрів до конструкції від так званого вільного повітряного вибуху [8, 9]). В таблиці 1 наведені дані максимальних переміщень q1,max, q2,max для варіантів довжини колони L=5; 6; 8 метрів (приблизно колона двоповерхової будівлі). Модуль пружності Ec=25000 МПа. Сторона квадратного перерізу b=400 мм. Варіюється також відношення маси m1 до маси m2 при тому, що при їх рівності m1=m2=m=3000 кг.
Таблиця 1. Максимальні переміщення в залежності від довжини колони і відношення мас m1/m2
В таблиці 2 наведені дані максимальних переміщень мас в залежності їх величини m1=m2=m, а також перерізу колони b для колони довжиною L=6 м.
З таблиць 1 та 2 можна бачити, що збільшення маси суттєво зменшує переміщення. Зважаючи на лінійність системи це означає і на зменшення згинальних моментів в колоні. При зменшенні маси m2 (верхнього поверху) максимальне переміщення q1,max мало змінюється. І, навпаки, при зменшенні маси m1 максимальне переміщення q2,max мало змінюється на відміну від суттєвої зміни переміщення самої маси m1. На переміщення впливають також як розмір поперечного перерізу колони, так і її довжина. Ці фактори слід враховувати при проектуванні будівель і споруд.
Таблиця 2. Максимальні переміщення за різних значень мас
Дані таблиць отримані для випадку, коли висота поверхів однакова (при l=L). Крім того, динамічні сили на першому і другому поверхах однакові (F1(t)=F2(t)). Рівняння (17) дозволяють розраховувати при будь якому співвідношенні l/L, а також при будь якому співвідношенні F1/F2. При цьому тільки вирази коефіцієнтів за (3)-(5) змінюються, а також вирази для узагальнених сил Q1, Q2 за (14) та (15). Враховуючи, що це величини, що задаються, суть розрахунку від цього не змінюється.
Дані таблиць отримані розрахунком за запропонованою методикою. Складена зовсім невеличка програма в Excel з Visual Basic буквально на одній сторінці. Дані отримані з рішення системи рівнянь (17) методом Ейлера. Аналіз впливу різних факторів на зусилля і переміщення системи можна продовжувати без застосування складних програмних комплексів. Такий аналіз, як вже згадувалося вище, потрібен на етапі, коли вишукується оптимальне рішення.
Для наочного представлення впливу деяких факторів на рис. 2-5 наведені графіки залежності q1(t) та q2(t) переміщень мас m1 та m2. На рис. 2 – ці залежності при рівних масах m1=m2=3000 кг; на рис. 3 – при m1=m2/3; на рис. 4 – при m1=m2/5; на рис. 5 – навпаки, при m2=m1/2.
Рис. 2. Залежність q1(t), q2(t) для колони L=6м; b=400 мм; m1=m2=3000 кг
Рис. 3. Залежність q1(t), q2(t) для колони L=6м; b=400 мм; m1=1000; m2=3000 кг
Рис. 4. Залежність q1(t), q2(t) для колони L=6м; b=400 мм; m1=600; m2=3000 кг
Рис. 5. Залежність q1(t),q2(t) для колони L=6м; b=400 мм; m1=3000; m2=1500 кг
Як можна бачити з рисунків 2-5 картина переміщень мас суттєво залежить від величини мас, а також від їх співвідношення. Враховуючи, що і від інших параметрів залежать переміщення, застосування такого зручного механізму аналізу, який наведено вище, е корисним.
Висновки. Розглянута динамічна схема вертикального стрижня з двома зосередженими масами, яка моделює колону двоповерхового будинку, маса перекриттів якого зосереджена в рівні поверхів, за дії горизонтального динамічного навантаження. Виведено систему диференціальних рівнянь руху цих мас за допомогою рівнянь Лагранжа другого роду. Показано, що такі розрахунки потрібні на етапі варіантного пошуку оптимальних поперечних перерізів колон, виявлення закономірностей впливу різних факторів на напружено-деформований стан розглядуваної системи. Наведено частину залежностей такого впливу.
Список літератури
1. ДБН В.1.2-2:2006 Навантаження і впливи. Норми проектування. К: Мінбуд України, 2006. – 77 с.
2. ДБН В.2.2-5:2023 Захисні споруди цивільного захисту. Київ: Міністерство розвитку громад та інфраструктури України, 2023. – 131 с.
3. Писаренко Г.С., Квітка О.Л., Уманський Є.С. Опір матеріалів. – К.:вища школа, 2004. – 655 с.
4. Цихановський В.К., Бєлятинський А.О., Талах С.М. Будівельна механіка (спецкурс). Київ: НАУ, 2014.
5. Azizov T., Kochkarev D. Engineering Metodology for Calculation of Bending Structures Under the Action of a Shock Air Wave // Science of Europe. #155 (2024) – p. 115-119
6. Azizov T., Kochkarev D. Calculation of the Floor of an Underground Building for the Effect of a Blast Wave // Science of Europe. #153 (2024) – p. 122-127.
7. Clough R.W., Penzien J. Dynamics of Structures. New-York, 1975. – 319 p.
8. Kingery C. N., Bulmash G., (1984) “Technical report ARBRL-TR-02555: Air blast parameters from TNT spherical air burst and hemispherical burst”, AD-B082 713,U.S. Army Ballistic Research Laboratory, Aberdeen Proving Ground, MD.
9. Unified Facilities Criteria (2008), “UFC 3-340-02 Structures to Resist the Effects of Accidental Explosions“, U.S. Army Corps of Engineers, Naval Facilities Engineering Command, Air Force Civil Engineer Support Agency.
|
Голосування 
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter