Аналіз досліджень і постановка задачі. Відомо, що в залізобетонних плитах у кутових зонах виникають діагональні тріщини [2], хоча згинальні моменти досить малі [9]. Це зумовлено дією крутних моментів, які далеко не завжди правильно враховуються в розрахунках саме залізобетонних плит [4]. З проектної практики відомо [3, 8], що запроектовані залізобетонні плити на практиці мають прогини, що перевищують розрахункові та іноді це перевищення є суттєвим, хоча при цьому при проектуванні враховується вплив тріщиноутворення.
Одна з причин цієї відмінності полягає в неправильному врахуванні зміни крутильних жорсткостей скінчених елементів при утворенні тріщин.
Крім того, при моделюванні плоскими скінченими елементами крутні моменти Mxy також можуть бути визначені не вірно [4]. А через те, що поява тріщин у кутових зонах залежить саме від величини крутних моментів [2, 10], оцінка цього фактору також має важливе значення.
В даний час при проектуванні перекриттів використовуються, як правило, програмні комплекси, в яких реалізовано метод скінчених елементів. До таких програм належать Lira, Skad, Ansys та ін. [1]
При моделюванні перекриття зазвичай моделюється плоскими скінченими елементами тонкої плити або оболонки [1]. Найчастіше таке моделювання виправдане. Однак, є різні схеми навантаження (здебільшого нерівномірні навантаження), у яких використання теорії плит призводить до помилок визначення зусиль.
З огляду на вищесказане метою цієї статті є розроблення пропозицій з моделювання роботи залізобетонних плит та визначення крутних жорсткостей скінчених елементів.
Виклад основного матеріалу. Розглянемо спочатку вплив моделювання плоскими скінченими елементами. Як було сказано вище, при моделюванні роботи перекриттів, як правило, використовують плоскі скінчені елементи з теорії тонких плит. При цьому переміщення конструкції визначаються досить правильно, а крутні моменти Mxy виявляються значно меншими в порівнянні з зусиллями, визначеними з використанням виразів теорії пружності [9]. Не врахування цього чинника може призвести до помилок проектування, іноді й суттєвих [4].
З теорії пружності відомо, що при розрахунку кручення тонкої смуги крутний момент складається з двох складових: крутного моменту від дотичних напружень, що діють по довгій стороні перерізу і крутного моменту від дотичних напружень по короткій стороні вузького прямокутного перерізу. Причому ці крутні моменти рівні між собою. Іншими словами, загальний крутний момент дорівнює сумі моментів Md (від дотичних напружень по довгій стороні перерізу) та Mk (від дотичних напружень по короткій стороні перерізу).
Теорія плит не враховує дотичні напруження, що діють за товщиною плити (тобто по короткій стороні перерізу). Відповідно, і крутні моменти в скінчених елементах плити при крученні тонкої смуги дорівнюють половині зовнішнього крутного моменту (тільки крутному моменту Md.
Сказане вище легко перевірити, зробивши розрахунок на кручення консольної смуги, яка закладена дальнім торцем і до ближнього торця якої прикладений крутний момент (рис. 1, а). Причому крутний момент можна прикласти будь-яким способом: зосередженими силами, як показано на рис. 1,а, зосередженим моментом або іншим способом. Другим прикладом може слугувати схема навантаження перекриття несиметричним крайовим навантаженням
Рис. 1. Розрахункові схеми, при яких моделювання плоскими скінченими елементами призводить до помилок при визначенні крутних моментів Mxy
При аналізі результатів розрахунку ми можемо побачити, що крутний момент Mxy за будь-яким горизонтальним перерізом на рис. 1, а дорівнюватиме рівно половині зовнішнього крутного моменту, прикладеного до торця консолі.
Слід зазначити, що при розрахунку плит за традиційними схемами (спирання по контуру, спирання по кутах і симетричне навантаження) питань про точність визначення крутних моментів Mxy не виникає. Однак якщо розглядати схеми у вигляді рис. 1, а, схеми плит з протяжними отворами, схеми плит з несиметричним крайовим навантаженням (рис. 1, б), то крутні моменти, визначені за програмою, в якій реалізований метод скінчених елементів і застосована теорія плит, похибка у визначенні крутних моментів суттєва.
Дотичні напруження, що діють по короткій стороні прямокутного поперечного перерізу (по товщині плити на рис. 1,а) значно менше від дотичних напружень, що діють по довгій стороні перерізу. В теорії плит вони не враховуються. Однак, відстань до центру кручення від дотичних напружень, що діють по товщині плити велика і вони в результаті дають крутний момент, що дорівнює половині зовнішнього крутного моменту.
Таким чином, при розрахунку подібних конструкцій порушується фундаментальна вимога рівноваги (внутрішній крутний момент не дорівнює зовнішньому моменту). Однак, якщо порівняти переміщення смуги з точним рішенням з теорії пружності [9], то при малій товщині пластини результати збігатимуться з достатньою точністю.
Цю особливість досить просто пояснити. Враховуючи, що метод скінчених елементів, реалізований у більшості програм, зокрема у програмі Lira-Sapr, є методом переміщень. Тому при розрахунку спочатку визначаються переміщення, а потім дотичні напруження і далі крутні моменти. А, як було сказано вище, дотичні напруження, що діють по довгій стороні перерізу, є лише частиною всіх дотичних напружень, що діють у закрученій смузі. Саме з цієї причини величина переміщень, визначених за програмою, збігається з переміщеннями, визначеними за теорією кручення, а крутні моменти рівні половині діючого крутного моменту.
Важливість правильного визначення крутних моментів при розрахунку залізобетонних плит полягає в наступному. Відомо, що утворення тріщин у програмах (наприклад, Lira-Sapr) розраховується залежно від головних моментів M1 та M2, які визначаються за відомими формулами [10].
З (1) добре видно, що при не правильному визначенні крутних моментів Mxy головні моменти будуть визначені не правильно, а, отже, момент утворення тріщин буде також визначений не правильно. Враховуючи, що значення крутних моментів Mxy в програмах, де використовуються скінчені елементи плит, виявляються заниженими, то момент утворення тріщин визначається при навантаженнях, що перевищують реальні навантаження, за яких утворюються тріщини. Саме в цьому полягає одна з причин, через які експериментальні прогини в залізобетонних плитах виявляються більшими, ніж визначені розрахунком.
У зв'язку з вище сказаним при реальному проектуванні залізобетонних перекриттів слід враховувати наведений важливий фактор, і у випадках, описаних вище, застосовувати або об'ємні, або стрижневі скінчені елементи з подальшим аналізом.
Розглянемо тепер іншу похибку при розрахунках залізобетонних плит. Відомо, що в ітераційних розрахунках залізобетонних конструкцій на кожній ітерації залежно від рівня навантаження у кожному скінченому елементі змінюється жорсткість. На наступній ітерації, якщо зусилля менше зусилля утворення тріщин, жорсткість даного скінченого елемента знову приймається такою, що дорівнює початкові (пружній) жорсткості. Через це часто відбувається зациклювання ітераційного процесу і його розгойдування, тобто коли різниця зусиль на останній та попередній ітераціях дедалі збільшується. Для запобігання цього, зазвичай, рекомендують приймати середні жорсткості на кількох попередніх ітераціях. Однак така постановка має ще один недолік. Як правило, у розрахунках проводяться ітерації не тільки щодо уточнення жорсткостей елементів (так звані внутрішні ітерації), але й за навантаженнями (зовнішні ітерації). Тому, якщо прийняти невеликий крок зовнішніх ітерацій, можна досить точно визначити момент утворення тріщин на конкретній ділянці плити (конструкції). При подальшому підвищенні навантаження на наступному кроці ітерацій може виявитися, що в елементі, який аналізується, зусилля менше зусилля утворення тріщин. В такому випадку при традиційному підході жорсткість елемента знову приймається як жорсткість елемента без тріщин. Однак, насправді якщо тріщина утворилася за певного рівня навантаження, то жорсткість елемента не можна знову збільшувати, оскільки це суперечить природі залізобетону. Тому при розрахунку залізобетонних конструкцій (у тому числі і плит) рекомендується дискретно змінювати жорсткість елемента, в якому утворилася тріщина та не збільшувати її у подальших ітераціях. Подальше зменшення жорсткості елемента при зростанні навантаження можна враховувати, але в жодному разі не збільшувати його. Цей підхід, крім того, ще й дозволяє уникнути зациклювання ітераційного процесу, а також суттєво зменшити кількість ітерацій. Подальше зменшення жорсткості елемента у разі зростання навантаження рекомендується визначати з припущення, що жорсткість змінюється лінійно.
Дослідження показують [3], що після утворення тріщин жорсткість залізобетонного елемента не сильно змінюється аж до моменту перед початком текучості арматури. Тому можна спочатку визначити жорсткість перед початком текучості арматури та в ітераційних розрахунках плит після утворення тріщин у кожному скінченому елементі приймати жорсткість, що дорівнює цій жорсткості. Це значно спростить розрахунок, мало впливаючи на точність визначення прогинів плити.
Що стосується крутильної жорсткості, то припустимо, що при утворенні нормальних тріщин (а в плитах тільки такі і утворюються) крутильна жорсткість зменшується в стільки ж разів, що і згинальна. При використанні програмних комплексів (типу Lira-Sapr та ін.) зміна жорсткості елементів можлива через відповідну зміну модуля пружності матеріалу. При застосуванні схеми ортотропної плити можна змінювати як модуль деформацій E, так і модуль зсуву G.
В [9] показано, що для залізобетонних плит використовують теорію ортотропних плит. При цьому жорсткість кручення Dxy може бути визначена за формулою:
е Dx, Dy¬ - циліндричні (згинальні) жорсткості в напрямку осей відповідно X та Y; ν – коефіцієнт Пуассона бетону.
Вважаючи, що жорсткість Dx=Dy=D, а коефіцієнт Пуассона для бетону дорівнює 0.2, отримаємо, що Dxy=0.4•D. Тоді в програмі Lira-Sapr після утворення тріщин модуль зсуву Gcrc може бути обчислений за виразом:
де E, G -початкові модуль пружності та зсуву скінченого елемента; Ecrc – модуль пружності скінченого елемента після утворення тріщин.
Якщо відомо, наскільки зменшується згинальна жорсткість при утворенні тріщин, то враховуючи, що циліндрична жорсткість плити D і крутильна жорсткість Dxy визначаються за відомими формулами:
з використанням формули (2) легко визначити крутильну жорсткість.
Таким чином, після утворення тріщин у скінченому елементі у програмі Lira-Sapr модуль деформацій приймаємо рівним Ecrc, а модуль зсуву Gcrc визначаємо за формулою (3).
Ітераційний розрахунок проводиться таким чином, що на кожній ітерації розраховується пружна плита, жорсткості скінчених елементів якої мають або початкову (з початковими модулями пружності E і зсуву модулями G), або жорсткості з тріщинами (модуль пружності Ecrc, модуль зсуву Gcrc). При цьому за рахунок дискретної зміни жорсткостей цілком достатньо 3-5 ітерацій.
Розрахунки показують, що за такого підходу переміщення залізобетонних плит, отримані розрахунком задовільно збігаються з експериментальними переміщеннями [5, 6].
Висновки. При розрахунку залізобетонних плит слід враховувати фактори, які суттєво впливають на визначення зусиль та прогинів. До таких факторів відноситься правильний вибір скінчених елементів при розрахунку плит з несиметричним навантаженням, зміна жорсткості скінчених елементів в результаті утворення тріщин. У статті наведено рекомендації щодо правильного врахування зміни згинальної та крутильної жорсткостей елементів після утворення тріщин. Показано, що при прийнятому підході розрахункові прогини плити задовільно узгоджуються з прогинами, отриманими експериментально.
Список використаних джерел.
1. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. – Киев: Факт, 2005. – 343 с.
2. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. Стройиздат, 1976. – 208 с.
3. Кочкарьов Д.В. Нелінійний опір залізобетонних елементів і конструкцій силовим впливам: Монографія. Рівне: О.Зень, 2015. 384 с.
4. Azizov T., Kochkarev D. Limits of using the theory of plates in the calculation of reinforced concrete slabs // Sciences of Europe. – 2023. –№ 111(2023). – P. 28-32. DOI: 10.5281/zenodo.7680288
5. Bach G. Versuche mit zweiseitig aufliegenden Eisenbetonplatten bei konzentrierter Belastung. Heft 53. Berlin, 1923.
6. Bach G und Graf ). Versuche mit allseitig aufliegenden, quadratischen und rechteckigen Eisenbetonplatten. Berlin, 1915.
7. EN 1992: Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules and rules for buildings. – Brussels, 2002. – 230 p.
8. James K. Wight, James G. MacGregor. Reinforced Concrete. Mechanics and Design. USA, 2009. – 1157 p.
9. S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. – New York, Toronto, 1959. – 635 p.
10. Wood R.H. Plastic and elastic design of slabs and plates. London, Thames, 1961.
|
Голосування 
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter