Постановка задачі про оптимізацію портфеля акцій.
Для розв’язання та аналізу прикладних задач портфельного інвестування існує широкий спектр підходів [1-3]. Значна їх частина передбачає активне застосування методів технічного та фундаментального аналізу, які дають можливість визначити динаміку ринкової вартості акції у майбутньому. Такі правила побудови прогнозу, в силу добре розроблених математичних формалізацій і підходів та відносно не складної практичної реалізації, активно розвиваються і ефективно застосовуються при прийнятті оптимальних рішень.
Математична задача побудови оптимальної динаміки портфеля акцій у найбільш загальній постановці Г. Марковиця має вигляд [1].
Згідно Г. Марковицю, критерії в задачі є суперечливими, тобто покращення результату за одним з них веде до погіршення за іншим. Кроком, який може наблизити формулювання задачі (1) до потреб практичного інвестування, є розбиття двокритеріальної задачі на дві однокритеріальні, перша з яких передбачає оптимізацію ризику при заданому рівні очікуваної прибутковості на обраний момент часу rp(T), а друга - оптимізацію очікуваної прибутковості для визначеного інвестором “оптимального” рівня ризику портфеля τp. У деяких випадках такі математичні постановки задач нелінійного програмування дозволяють отримати аналітичні розв’язки [2], але часто при цьому не розглядаються суттєві особливості, які полягають у тому, що на кожному кроці розв’язання задачі про диверсифікацію портфеля акцій необхідно враховувати як бюджетні, так і інструментальні обмеження.
Тут X(t) – обмежена замкнута множина допустимих портфелів.
Математична модель формування динаміки ринкової вартості портфеля акцій [1], [2] у загальному вигляді може бути записана так
Тут ri – очікувана ринкова вартість i - тої акції; rp – очікувана ринкова вартість інвестиційного портфеля; xi – частка акцій i – того виду у портфелі, i=1,n; V – коваріаційна матриця (n×n); I – одиничний вектор (n×1); t – час; α – вектор параметрів у моделі динаміки ринкової вартості однієї акції.
Задача про побудову оптимальної траєкторії динаміки ринкової вартості портфеля акцій.
Дано: математична модель динаміки формування ринкової вартості інвестиційного портфеля (3); бажаний рівень прибутковості портфеля у момент часу T rp(T)=rpr; часовий інтервал t ϵ [t0,T]; обмеження на керування x(ti) ϵ X(t); критерій якості
Необхідно: визначити вектор x(t0) та, відповідно, rp(t0). Вектор x описує частки акцій різних видів у портфелі і є таким x=(x1,x2,…,xn)T.
Для розв’язання поставленої вище задачі оптимального керування із одним закріпленим кінцем траєкторії та фіксованим часом застосуємо принцип максимуму. В результаті отримаємо можливість визначити x(t0) і на його основі rp(t0). Функція Гамільтона матиме вигляд
Необхідна умова її оптимальності за керуванням є такою
Розв’язком останнього рівняння є функція керувань портфелем x*(ψ(t),rp(t),t). Побудуємо спряжену систему у вигляді
Сформуємо умову трансверсальності на лівому кінці траєкторії
Крайова задача принципу максимуму матиме вигляд
за відомих значень ψ(t0), rp(T).
Розв’язком крайової задачі будуть функції x(t) і ψ(t), на основі яких будується оптимальний процес.
Задача про оптимальну диверсифікацію портфеля акцій.
“Програмна” траєкторія, з огляду на властивості прикладної задачі, може бути сформульована дослідником і змістом її буде бажаний рівень очікуваної прибутковості інвестиційного портфеля у визначений на обраному інтервалі момент часу. Позначимо її rp*(t), t ϵ [t0,T] Формально постановка задачі може бути такою: для математичної моделі (3), за умов
та критерія якості
визначити функцію rp(t), яка на заданому інтервалі часу надаватиме оптимального значення критерію якості (5) та задовольнятиме умови (4).
Для розв’язання задачі (3), (4), (5) як задачі оптимального керування із двома закріпленими кінцями траєкторії та фіксованим часом, застосуємо процедуру принципу максимуму. Побудуємо функцію Гамільтона
Розв’язком останнього рівняння є функція керування портфелем x*(t). Крайова задача принципу максимуму матиме вигляд за умов (4).
Розв’язавши побудовану систему звичайних диференціальних рівнянь, визначимо функції rp(t), ψ(t), які, будучи підставленими у розв’язок рівняння (3), дадуть можливість визначити структуру оптимального інвестиційного портфеля на вибраному інтервалі часу. Загальна задача Г. Марковиця оптимізації портфеля ризикованих активів (1) передбачає врахування і іншого критерія – ризикованості. У роботі [3] для для її розв’язання пропонується скористатись множинами допустимих та ефективних портфелів.
Список використаних джерел:
1. Шарп У. Инвестиции / Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бэйли. –Москва: Инфра-М, 1999. –С.1027.
2. Гаращенко Ф.Г. Качественный анализ математических моделей инвестиционного менеджмента / Кулян В.Р., Рутицкая В.В. // Кибернетика и вычислительная техника. – 2005. – №148. –С. 3-10.
3. Fedir G. Garashchenko, Viktor R. Kulian, Vladislava V. Rutitskaya Modelling and Analysis of Investment Trends. // Journal of Automation and Information. –New York, Connecticut. -2011. –v. 43, issue 12, -P.48-58.
|
Голосування 
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter